Question

如图，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3，求证：EF、GH、BD交于一点.

Answer 1

【探究】 本题是一个证明三线共点的问题.证明时可以首先证明GH和EF共面交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理3，两平面相交，有且只有一条交线.因此点O在交线上，即点O在直线BD上.从而证明了直线EF、GH、BD都过点O.在该题中还涉及证明E、F、H、G四点共面的问题，又利用了公理2的推论.

证明：∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC.

又∵DF∶FC=DH∶HA=2∶3，∴FH∥AC，从而FH∥GE.故E、F、H、G四点共面.

∵AG∶GB=1∶1,AH∶HD=3∶2,∴AG∶GB≠AH∶HD.

∴GHBD.同理，EFBD.∴GHEF.

∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.

∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上.而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上.∴EF、GH、BD交于一点.

【规律总结】 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点.