Question

【题目】在数列{an}中，a1+2a2++22a3+…2n﹣1an=（n2n﹣2n+1）t对任意n∈N*成立，其中常数t＞0．若关于n的不等式 + + +…+ ＞ 的解集为{n|n≥4，n∈N*}，则实数m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[ ）
【解析】解：当n≥2时，a1+2a2++22a3+…2n﹣1an=（n2n﹣2n+1）t…①

得a1+2a2++22a3+…2n﹣2an﹣1=[（n﹣1）2n﹣1﹣2n﹣1+1）t…②

将①，②两式相减，得 2n﹣1 an=（n2n﹣2n+1）t﹣[（n﹣1）2n﹣1﹣2n﹣1+1]t，

化简，得an=nt，其中n≥2．…（5分）

因为a1=t，所以an=nt，其中n∈N*．

∴ ．

∴ + + +…+ = =

又∵ ，则关于n的不等式 + + +…+ ＞ 化简为 ．

当t＞0时，考察不等式为 ．的解，

由题意，知不等式1﹣ ＞m的解集为{n|n≥4，n∈N*}，

因为函数y=1﹣ 在R上单调递增，所以只要求1﹣ 且1﹣ ≤m即可，∴ ．

所以，实数m的取值范围是[ ）．

所以答案是：[ ）．