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已知集合M是满足下面性质的函数f(x)的全体:在定义域内,方程f(x+1)=f(x)+f(1)有实数解.
(1)函数f(x)=
1
x
是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=lg
t
x2+1
∈M
,求t的取值范围.
分析:(1)在定义域内,由f(x)=
1
x
,f(x+1)=f(x)+f(1),知
1
x+1
=
1
x
+1⇒x2+x+1=0
,由此能推导出f(x)=
1
x
∉M.
(2)由函数f(x)=lg
t
x2+1
∈M
,知lg
t
(x+1)2+1
=lg
t
x2+1
+lg
t
2
,所以(t-2)x2+2tx+2(t-1)=0有实数解,由此能求出t的范围.
解答:解:(1)在定义域内,
f(x)=
1
x
,f(x+1)=f(x)+f(1)
1
x+1
=
1
x
+1⇒x2+x+1=0

∵方程x2+x+1=0无实数解,
f(x)=
1
x
∉M.(6分)
(2)∵函数f(x)=lg
t
x2+1
∈M

∴lg
t
(x+1)2+1
=lg
t
x2+1
+lg
t
2

∴(t-2)x2+2tx+2(t-1)=0有实数解,
t=2时,x=-
1
2

t≠2时,由△=4t2-4(t-2)×2(t-1)≥0,
t2-6t+4≤0⇒t∈[3-
5
,2)∪(2,3+
5
]

t∈[3-
5
,3+
5
]
.(12分)
点评:本题考查函数的性质和应用,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意对数的性质的灵活运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(1)函数数学公式是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数数学公式,求t的取值范围.

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(1)函数f(x)=
1
x
是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=lg
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x2+1
∈M
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省绍兴市诸暨中学高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题

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(1)函数是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数,求t的取值范围.

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(2)设函数,求t的取值范围.

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