Question

设O为坐标原点，曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.

（1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程.

Answer 1

（1）m=-1（2）y=-x+1

解析:

（1）曲线方程为（x+1）²+(y-3)²=9表示圆心为

（-1，3），半径为3的圆.

∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1.

（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P（x₁，y₁）、Q(x₂，y₂)，PQ方程为y=-x+b.

将直线y=-x+b代入圆的方程，

得2x²+2(4-b)x+b²-6b+1=0.

Δ=4(4-b)²-4×2×(b²-6b+1)＞0,

得2-3＜b＜2+3.

由根与系数的关系得

x₁+x₂=-(4-b),x₁·x₂=.

y₁·y₂=b²-b(x₁+x₂)+x₁·x₂=+4b.

∵·=0，

∴x₁x₂+y₁y₂=0，即b²-6b+1+4b=0,

解得b=1(2-3,2+3),

∴所求的直线方程为y=-x+1.