Question

在直角坐标系中，定义：(xn，yn)

1 1 1 -1

=(xn+1，yn+1)，即

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

（n∈N^*）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换．我们把它称为点变换（或矩阵变换）．已知P₁（1，0）．
（1）求直线y=x在矩阵变换下的直线方程；
（2）设d_n=|OP_n|²（n∈N^*），求证：d_n为等比数列，并写出d_n的通项公式；
（3）设P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n+1，y_n+1）（n∈N^*）是经过点变换得到的一列点．求数列x_n，y_n的通项公式．

Answer 1

分析：（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），所以直线y=0；
（2）因为

dn+1

dn

=

xn+12yn+12

xn2+yn2

=

(xn+yn)2+(xn-yn)2

xn2+yn2

，据此可写出d_n的通项公式；
（3）由

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

，x_n=x_n-1+y_n-1=x_n-2+y_n-2+x_n-2-y_n-2=2x_n-2（n≥3），所以x₁=1，x₂=1，x_n=2x_n-2（n≥3），同理得y₁=0，y₂=1，y_n=2y_n-2（n≥3），由此可求出数列x_n，y_n的通项公式．

解答：解：（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），
所以直线y=x变成x轴，即直线y=0；
（2）（1）因为

dn+1

dn

=

xn+12yn+12

xn2+yn2

=

(xn+yn)2+(xn-yn)2

xn2+yn2

所以d_n是首项为1，公比为2的等比数列，d_n=2^n-1；
（3）由

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

，x_n=x_n-1+y_n-1=x_n-2+y_n-2+x_n-2-y_n-2=2x_n-2（n≥3），
所以x₁=1，x₂=1，x_n=2x_n-2（n≥3），同理得y₁=0，y₂=1，y_n=2y_n-2（n≥3），
则yn=

2 n 2 -1(n为偶数) 0  (n为奇数)

，xn=

2 n 2 -1(n为偶数) 2 n-1 2 (n为奇数)

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列通项公式的求法．