Question

（08年福建卷理）（本小题满分14分）

　　　已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

　　（Ⅱ）记在区间（n∈N*）上的最小值为，令.

        ① 如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；

() 求证：.

Answer 1

 解析：解法一：

（I）因为，所以函数定义域为，且。

由得，的单调递增区间为；

由<0得，的单调递增区间为（0，+）.

（Ⅱ）因为在上是减函数，所以，

则.

()

又,

因此，即实数c的取值范围是.

()  由①知

因为

所以＜，

则

 .

解法二：

（I）同解法一。

（Ⅱ）因为在上是减函数，所以，

则.

() 因为对恒成立，

所以对恒成立。

     则对恒成立。

     设，，则对恒成立。

     考虑。

     因为

     在内是减函数；则当时，随的增大而减小。

     又因为

                   。

所以对一切，。因此，即实数c的取值范围是.

()  由()知

下面用数学归纳法证明不等式

 ，

① 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立。

② 假设当时，不等式成立.即。

          当时，

         

         

。

即时，不等式成立.

综合①、②得， 成立。

所以

。

 .

【高考考点】本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.

【易错提醒】第一问中导数记不住公式

【备考提示】此题为压轴题,所以平时可以让学生学会放弃一些自己能力范围之外的题目,把多余的时间多花点在中低档题目上,可是80%的分数呀,多么可观,可是纵观历年的高考成绩来看又有多少人真正的做到了这120分?