【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点.
(Ⅰ)求证:AN∥平面MEC;
(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意证得AN∥EF,结合线面平行的判断定理可得AN∥平面MEC;
(2)建立空间直角坐标系可得,存在点P满足题意,其中 .
试题解析:
(I)CM与BN交于F,连接EF.
由已知可得四边形BCNM是平行四边形,所以F是BN的中点.
因为E是AB的中点,所以AN∥EF.
又EF平面MEC,AN平面MEC,所以AN∥平面MEC.
(II)由于四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,可得DE⊥AB.
又四边形ADNM是矩形,面ADNM⊥面ABCD,
∴DN⊥面ABCD,
如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,
则D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),P(,﹣1,h),
=(,﹣2,0),=(0,﹣1,h),
设平面PEC的法向量为=(x,y,z).
则,∴,令y=h,∴=(2h, h,),
又平面ADE的法向量=(0,0,1),
∴cos<,>===,解得h=,
∴在线段AM上是否存在点P,当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为.
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【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=ex , 对于实数m、n、p有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),则p的最大值等于 .
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , a1=﹣ ,Sn+ =an﹣2(n≥2,n∈N)
(1)求S2 , S3 , S4的值;
(2)猜想Sn的表达式;并用数学归纳法加以证明.
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【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,其中左焦点F(﹣2,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.
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【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系,长郡中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查,其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人,余下的人中,在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后,得到如下的列联表:
分数大于等于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
周做题时间不少于15小时 | 4 | 19 | |
周做题时间不足15小时 | |||
合计 | 45 |
(1)请完成上面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;
(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法,在上述样本中,从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生,设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是,求的分布列(概率用组合数算式表示);
(ⅱ)若将频率视为概率,从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.
附:
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【题目】设函数f(x)=a2x+ (a,b,c为常数,且a>0,c>0).
(1)当a=1,b=0时,求证:|f(x)|≥2c;
(2)当b=1时,如果对任意的x>1都有f(x)>a恒成立,求证:a+2c>1.
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