Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为______．

Answer 1

∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=

2

a，AB=2a，∴AB²=AG²+BG²，∴AG⊥BG，
∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．
在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．
在Rt△CBG中，BH=

BC•BG

CG

=

2 3

3

a，BG=

2

a，∴sin∠BGH=

BH

BG

=

6

3

．
故答案为：

6

3

．