Question

已知函数(a≠0),且F^’(-1)=0

    (I)若F(x)在x=1处取得极小值-2，求函数F(x)的单调区间：

(Ⅱ)令f(x)= F^’(x)，若，            f ^‘    (x)>0的解集为A，且满足A∪(O，1)=(O，+∞)，求的取值范围．

Answer 1

解：(I) ∵F^’(x)=ax²+2bx+c，且F^‘(-1)=0．   ∴  a-2b+c=0．①

    又由在x=1处取得极小值-2可知

    F^’(1)=a+2b+c=0   ②  且③

    将①、②、③式联立，解得a=3，b=0，C=-3．

    ∴ F(x)=x³-3x．F^’(z)=3x²-3．   

由F^’(x)=3x²-3≥0解得x≤-1或x≥1

    同理，由F^’(x)=3x²-3≤0解得-1≤x≤1．

∴ F(x)的单调递减区间为[-1，1]，单调递增区间为(-∞，- 1 ]和[1，+∞)

    (Ⅱ)由上问知：f(x)=F^’(x)=ax²+2bx+c， ∴   f^’(x)=2ax+2b．

    又∵ F^‘(-1)=0．∴   a-2b+c=0．∴  2b=a+c．∴   f^’(x)=2ax+a+c

    ∵f^’(x)>0, ∴ 2ax+a+c>0    ∴   2ax>-a-c．   

    ∴  当a<0时，f^’(x)>0的解集为(-∞,)，显然A∪(0,1)=(0，+∞)不成立，不满足题意． ∴  a>0，且f^’(x)>0的解集为(，+∞)   

   又由A∪(0，1)=(0，+∞)知：0≤<1．解得-3<≤-1．