Question

19．已知$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a{b}^{3}≥81}\\{{a}^{3}b≤81}\end{array}\right.$，z=$\frac{{a}^{2}}{b}$，求z_max．

Answer 1

分析 利用已知条件求出b与a的关系，利用线性规划知识求解即可．

解答 解：z=$\frac{{a}^{2}}{b}$，可得a²=zb，$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a{b}^{3}≥81}\\{{a}^{3}b≤81}\end{array}\right.$，可得ab³≥a³b，可得b≥a≥1，b⁴≥ab³≥81，可得b≥3，a⁴≤a³b≤81，∴a≤3，
$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a≤3\\ 81≥b≥3\end{array}\right.$，
z=$\frac{{a}^{2}}{b}$＞0，可得a²=zb，表示开口向上的抛物线，如图的阴影部分：
当抛物线经过可行域的A（3，3）时，z取得最大值，此时z=1．
z_max=3．

点评 本题考查线性规划的应用，不等式的简单性质，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用、