Question

如图，△OBC的在个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P为线段BC的中点，P为线段CO的中点，P₃为线段OP₁的中点，对于每一个正整数n，P_n+3为线段P_nP_n+1的中点，令P_n的坐标为（x_n，y_n），an=

1

2

yn+yn+1+yn+2.
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及a_n；
（Ⅱ）证明yn+4=1-

yn

4

，n∈N*；
（Ⅲ）若记b_n=y_4n+4-y_4n，n∈N^*，证明{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知yn-3=

yn+yn+1

2

，由此可推导出a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）将等式

1

2

yn+yn+1+yn+2=2两边除以2，得

1

4

yn+

yn+1+yn+2

2

=1，由此可知yn+4=1-

yn

4

.
（Ⅲ）由bn-1=y4n+3-y4n+4=(1-

y4n+4

4

)-(1-

y4n

4

)=-

1

4

bn和b1=y3-y4=-

1

4

≠0，知{b_n}是公比为-

1

4

的等比数列．

解答：解：（Ⅰ）因为y1=y2=y4=1，y3=

1

2

，y5=

3

4

，
所以a₁=a₂=a₃=2，又由题意可知yn-3=

yn+yn+1

2

∴an+1=

1

2

y n+1+yn+2+yn+3
=

1

2

yn+1+yn+2+

y n+yn+1

2

=

1

2

yn+yn+1+yn+2=an，
∴{a_n}为常数列
∴a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）将等式

1

2

yn+yn+1+yn+2=2两边除以2，得

1

4

yn+

yn+1+yn+2

2

=1，
又∵yn+4=

y n+1+yn+2

2

∴yn+4=1-

yn

4

.
（Ⅲ）∵bn-1=y4n+3-y4n+4=(1-

y4n+4

4

)-(1-

y4n

4

)
=-

1

4

(y4n+4-y4n)
=-

1

4

bn，
又∵b1=y3-y4=-

1

4

≠0，
∴{b_n}是公比为-

1

4

的等比数列．

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意公式的灵活运用．