Question

2．设f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2-x）=0．当x∈[0，1]时f（x）=x²-1，若关于x的方程f（x）-kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是（　　）

• A． （5-2$\sqrt{6}$，4-$\sqrt{13}$）
• B． （8-2$\sqrt{15}$，4-2$\sqrt{3}$）
• C． （5-2$\sqrt{6}$，4-2$\sqrt{3}$）
• D． （8-2$\sqrt{15}$，4-$\sqrt{13}$）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期，以及函数的解析式，利用函数与方程之间的关系，转化为函数f（x）与y=kx有三个不同的交点，利用数形结合，以及直线和抛物线相切的等价条件，利用判别式△=0，进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2-x）=0．
∴f（x）=-f（2-x）=-f（x-2），
即f（x+2）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数的周期是4的周期函数，
若x∈[-1，0]时，则-x∈[0，1]时，此时f（-x）=x²-1=f（x），
即f（x）=x²-1，x∈[-1，0]，
综上f（x）=x²-1，x∈[-1，1]，
若x∈[-2，-1]时，则x+2∈[0，1]，
则由f（x+2）=-f（x），得f（x）=-f（x+2）=-[（x+2）²-1]=1-（x+2）²，x∈[-2，-1]
若x∈[1，2]时，则-x∈[-2，-1]时，
则f（-x）=1-（-x+2）²=1-（x-2）²=f（x），
即f（x）=1-（x-2）²，x∈[1，2]，
即函数在一个周期[-2，2]上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-（x+2）^{2}，}&{x∈[-2，-1）}\\{{x}^{2}-1，}&{x∈[-1，1]}\\{1-（x-2）^{2}，}&{x∈（1，2]}\end{array}\right.$，

若关于x的方程f（x）-kx=0恰有三个不同的实数解，
等价为f（x）=kx=0恰有三个不同的实数解，
即函数f（x）与y=kx有三个不同的交点，
作出函数f（x）和y=kx的图象如图：
当x∈[1，2]时，由f（x）=1-（x-2）²=kx，得x²+（k-4）x+3=0，
由判别式△=（k-4）²-12=0得k-4=±2$\sqrt{3}$，即k=4±2$\sqrt{3}$，
由1＜$-\frac{k-4}{2}$＜2，解得0＜k＜6
则k=4-2$\sqrt{3}$，此时两个函数有2个交点．
当x∈[-4，-3]时，x+4∈[0，1]时，
则f（x）=f（x+4）=（x+4）²-1，x∈[-4，-3]，
此时当f（x）与y=kx相切时，即（x+4）²-1=kx，
即x²+（8-k）x+15=0，
判别式△=（8-k）²-4×15=0得k-8=±2$\sqrt{15}$，即k=8±2$\sqrt{15}$，
由-4＜-$\frac{8-k}{2}$＜-3，得0＜k＜2，
即k=8-2$\sqrt{15}$，此时两个函数有4个交点．
故若关于x的方程f（x）-kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k满足8-2$\sqrt{15}$＜k＜4-2$\sqrt{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性和解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的图象交点问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．