【题目】设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= (an+1+1),n∈N* , 且a1=1,求证:
(1)数列{an+2n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn .
【答案】
(1)
证明:∵a1+a2+…+an+2n= (an+1+1),
∴当n≥2时,a1+a2+…+an﹣1+2n﹣1= (an+1),
∴an+2n﹣1= ,
化为an+1=3an+2n,
变形为:an+1+2n+1=3 ,
∴数列{an+2n}是等比数列,首项为3,公比为3
(2)
解:由(1)可得:an+2n=3n,
∴an=3n﹣2n,
∴数列{an}的前n项和Sn= ﹣
=
﹣2n+1+
.
【解析】(1)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出;(2)利用等比数列的前n项和公式即可得出.
【考点精析】认真审题,首先需要了解等比关系的确定(等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断),还要掌握数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】设分别为椭圆
的左、右焦点,点
为椭圆
的左顶点,点
为椭圆
的上顶点,且
.
(1)若椭圆的离心率为
,求椭圆
的方程;
(2)设为椭圆
上一点,且在第一象限内,直线
与
轴相交于点
,若以
为直径的圆经过点
,证明:点
在直线
上.
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【题目】设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=992.
(1)判断该展开式中有无x2项?若有,求出它的系数;若没有,说明理由;
(2)求此展开式中有理项的项数.
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【题目】已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点(0,
)是椭圆与y轴的一个交点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线x=2与椭圆交于P,Q两点,点P位于第一象限,A,B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点;
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的取值范围;
②当点A,B在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点P(3,0)在圆C:(x﹣m)2+(y﹣2)2=40内,动直线AB过点P且交圆C于A、B两点,若△ABC的面积的最大值为20,则实数m的取值范围是 .
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【题目】已知函数,
.
(1)若函数是奇函数,求实数
的值;
(2)在在(1)的条件下,判断函数与函数
的图像公共点个数,并说明理由;
(3)当时,函数
的图象始终在函数
的图象上方,求实数
的取值范围.
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