Question

已知f(x)=cosx(

3

sinx+cosx)
（1）当x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x；
（2）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b•c=

6

-

2

，f（A）=

1

2

，试求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式、余弦公式化简函数 f（x）的解析式为 sin（2x+

π

6

）+

1

2

，再由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得当x=

π

6

时，
函数f（x）取得最大值

3

2

．
（2）由f（A）=

1

2

，求得A=

5π

12

，利用两角和的正弦公式求得sinA=sin（

π

4

+

π

6

）的值，可得△ABC的面积S=

1

2

bc•sinA 的值．

解答：解：（1）∵f（x）=cosx（

3

sinx+cosx）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，x∈[0，

π

2

]，可得（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，
sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，故f（x）的值域为[0，

3

2

]，当x=

π

6

时，函数f（x）取得最大值

3

2

．…（6分）
（2）由f（A）=

1

2

=sin（2A+

π

6

）+

1

2

，可得sin（2A+

π

6

）=0，A=

5π

12

，故 sinA=sin（

π

4

+

π

6

）=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

6 + 2

4

．
可得△ABC的面积S=

1

2

bc•sinA=

1

2

×(

6

-

2

)×

6 + 2

4

=

1

2

．…（6分）

点评：本题主要考查两角和的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．