Question

15．已知函数f（x）=e^x-1．
（1）求证：f（x）≥x；
（2）若存在x₀＞0，使得对任意的x∈（0，x₀），恒有kf（x）＜x，求k的范围；
（3）若存在t＞0，使得对任意的x∈（0，t），恒有|kf（x）-x|＜f²（x），求k的范围．

Answer 1

分析 （1）由函数y=f（x）-x=e^x-x-1，求出导数和单调区间，可得极值和最值，进而得到证明；
（2）由题意可得k＜$\frac{x}{f（x）}$=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，设g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，求得导数，设h（x）=e^x-1-xe^x，求得导数，判断符号可得单调性，进而得到g（x）的单调性，可得g（x）的范围，可得k的范围；
（3）运用绝对值不等式的解法，由参数分离和构造函数，运用导数，判断单调性，即可得到k的范围．

解答 解：（1）证明：令y=f（x）-x=e^x-x-1，
则y′=e^x-1，
当x＞0时，函数y′＞0，函数递增；
当x＜0时，函数y′＜0，函数递减．
可得函数y在x=0处取得极小值，且为最小值0．
则y≥0，即f（x）≥x；
（2）对任意的x∈（0，x₀），恒有kf（x）＜x，且f（x）＞0，
即有k＜$\frac{x}{f（x）}$=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，
设g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}-1-x{e}^{x}}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
设h（x）=e^x-1-xe^x，h′（x）=e^x-（e^x+xe^x）=-xe^x＜0，
可得h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，
则g′（x）＜0，即有g（x）在（0，x₀）递减，
则g（x）＞g（x₀）=$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}-1}$．
即有k≤$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}-1}$；
（3）存在t＞0，使得对任意的x∈（0，t），恒有|kf（x）-x|＜f²（x），
即为$\frac{x-{f}^{2}（x）}{f（x）}$＜k＜$\frac{x+{f}^{2}（x）}{f（x）}$，
由$\frac{x-{f}^{2}（x）}{f（x）}$-1=$\frac{x-（{e}^{x}-1）^{2}-（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}-1}$，
由x＞0，可得e^x-1＞0，
由y=x-（e^x-1）²-（e^x-1）=x-e^x（e^x-1），
导数为y′=1-2e^2x+e^x=（1-e^x）（1+2e^x）＜0，
即有函数y在（0，t）递减，可得x-e^x（e^x-1）＜0，
即为$\frac{x-{f}^{2}（x）}{f（x）}$＜1，
则k≥1；
由$\frac{x+{f}^{2}（x）}{f（x）}$-1=$\frac{x+（{e}^{x}-1）^{2}-（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}-1}$，
由y=x+（e^x-1）²-（e^x-1）=x+（e^x-2）（e^x-1），
导数为y′=1+2e^2x-3e^x=（1-e^x）（1-2e^x）＞0，
即有函数y在（0，t）递增，可得x+（e^x-2）（e^x-1）＞0，
即有$\frac{x+{f}^{2}（x）}{f（x）}$＞1，
可得k≤1．
综上可得k=1．
则k的取值范围是{1}．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和转化思想，构造函数法，求得单调性是解题的关键，属于难题．