分析 (1)由函数y=f(x)-x=ex-x-1,求出导数和单调区间,可得极值和最值,进而得到证明;
(2)由题意可得k<$\frac{x}{f(x)}$=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$,设g(x)=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$,求得导数,设h(x)=ex-1-xex,求得导数,判断符号可得单调性,进而得到g(x)的单调性,可得g(x)的范围,可得k的范围;
(3)运用绝对值不等式的解法,由参数分离和构造函数,运用导数,判断单调性,即可得到k的范围.
解答 解:(1)证明:令y=f(x)-x=ex-x-1,
则y′=ex-1,
当x>0时,函数y′>0,函数递增;
当x<0时,函数y′<0,函数递减.
可得函数y在x=0处取得极小值,且为最小值0.
则y≥0,即f(x)≥x;
(2)对任意的x∈(0,x0),恒有kf(x)<x,且f(x)>0,
即有k<$\frac{x}{f(x)}$=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$,
设g(x)=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$,则g′(x)=$\frac{{e}^{x}-1-x{e}^{x}}{({e}^{x}-1)^{2}}$,
设h(x)=ex-1-xex,h′(x)=ex-(ex+xex)=-xex<0,
可得h(x)在x>0递减,即有h(x)<h(0)=0,
则g′(x)<0,即有g(x)在(0,x0)递减,
则g(x)>g(x0)=$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}-1}$.
即有k≤$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}-1}$;
(3)存在t>0,使得对任意的x∈(0,t),恒有|kf(x)-x|<f2(x),
即为$\frac{x-{f}^{2}(x)}{f(x)}$<k<$\frac{x+{f}^{2}(x)}{f(x)}$,
由$\frac{x-{f}^{2}(x)}{f(x)}$-1=$\frac{x-({e}^{x}-1)^{2}-({e}^{x}-1)}{{e}^{x}-1}$,
由x>0,可得ex-1>0,
由y=x-(ex-1)2-(ex-1)=x-ex(ex-1),
导数为y′=1-2e2x+ex=(1-ex)(1+2ex)<0,
即有函数y在(0,t)递减,可得x-ex(ex-1)<0,
即为$\frac{x-{f}^{2}(x)}{f(x)}$<1,
则k≥1;
由$\frac{x+{f}^{2}(x)}{f(x)}$-1=$\frac{x+({e}^{x}-1)^{2}-({e}^{x}-1)}{{e}^{x}-1}$,
由y=x+(ex-1)2-(ex-1)=x+(ex-2)(ex-1),
导数为y′=1+2e2x-3ex=(1-ex)(1-2ex)>0,
即有函数y在(0,t)递增,可得x+(ex-2)(ex-1)>0,
即有$\frac{x+{f}^{2}(x)}{f(x)}$>1,
可得k≤1.
综上可得k=1.
则k的取值范围是{1}.
点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和转化思想,构造函数法,求得单调性是解题的关键,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
收入x(万元) | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
支出y(万元) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
A. | 15万元 | B. | 14万元 | C. | 13万元 | D. | 12万元 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
喜爱运动 | 不喜爱运动 | 总计 | |
男 | 10 | 16 | |
女 | 6 | 14 | |
总计 | 30 |
P(K2≥k0) | 0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 |
k0 | 0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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