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已知a>b>0,F是方程的椭圆E的一个焦点,P、A,B是椭圆E上的点,与x轴平行,=,设
A(x1,y1),B(x2,y2),
(I )求椭圆E的离心率
(II)如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2,直线y=kx-3经过A、B两点,求k2的值.
【答案】分析:(I)根据点的位置和向量与坐标轴平行,点的向量的表达式,根据所给的表达式,得到两个量相等,整理出关于字母系数的等式,得到离心率.
(II)椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2,得到a,b的关系式,做两组方程联立,整理出方程,写出根与系数的关系,整理出等式,得到结果.
解答:解:(I)∵P是椭圆E上的点,与x轴平行,
∴||=
∵||=



(II)椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2
∴ab=2,
解方程组
∴椭圆的方程是
设A(x1,kx1-3),B(x2,kx2-3)

∴(4+k2)x1x2-3k(x1+x2)+9=0,

得(4+k2)x2-6kx+5=0
即(4+k2)x1x2-3k(x1+x2)+9=0

得(4+k2)x2-6kx+5=0,

∴(4+k2)x1x2-3k(x1+x2)+9=0,
∴56-4k2=0
k2=14
点评:本题考查椭圆与直线之间的关系,解题的关键是整理方程,这里整理方程的过程经常出错,导致后面的计算也出错,因此同学们从最根本的入手,仔细整理.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a>b>0,F是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1
的椭圆E的一个焦点,P、A,B是椭圆E上的点,
PF
与x轴平行,
PF
=
a
4
,设
A(x1,y1),B(x2,y2),
m
=(
x1
b
y1
a
)
n
=(
x2
b
y2
a
)
m
n
=0

(I )求椭圆E的离心率
(II)如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2,直线y=kx-3经过A、B两点,求k2的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知a>b>0,F是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1
的椭圆E的一个焦点,P、A,B是椭圆E上的点,
PF
与x轴平行,
PF
=
a
4
,设
A(x1,y1),B(x2,y2),
m
=(
x1
b
y1
a
)
n
=(
x2
b
y2
a
)
m
n
=0

(I )求椭圆E的离心率
(II)如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2,直线y=kx-3经过A、B两点,求k2的值.

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科目:高中数学 来源:四川省月考题 题型:解答题

已知a>b>0,F是方程的椭圆E的一个焦点,P、A,B是椭圆E上的点,与x轴平行,=,设A(x1,y1),B(x2,y2),
(I )求椭圆E的离心率
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科目:高中数学 来源:2011年云南省高三第一次复习统测数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知a>b>0,F是方程的椭圆E的一个焦点,P、A,B是椭圆E上的点,与x轴平行,=,设
A(x1,y1),B(x2,y2),
(I )求椭圆E的离心率
(II)如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2,直线y=kx-3经过A、B两点,求k2的值.

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