Question

1．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点为F₁，F₂，若C上存在点P，使得|PF₁|=k|PF₂|（k＞1），则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （k，$\frac{k+1}{k-1}$]
• B． （1，$\frac{k+1}{k-1}$]
• C． （1，k]
• D． [k，+∞）

Answer 1

分析 先根据双曲线定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a进而根据|PF₂|=k|PF₁|，求得|PF₁|=$\frac{2a}{k-1}$，|PF₂|=$\frac{2ka}{k-1}$，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，进而求得a和c的不等式关系，分析当P为双曲线顶点时，e=$\frac{k+1}{k-1}$且双曲线离心率大于1，最后综合答案可得．

解答 解：根据双曲线定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a，即k|PF₁|-|PF₁|=2a．
∴|PF₁|=$\frac{2a}{k-1}$．|PF₂|=$\frac{2ka}{k-1}$
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜$\frac{2a（k+1）}{k-1}$，
∴e＜$\frac{k+1}{k-1}$，
当p为双曲线顶点时，e=$\frac{k+1}{k-1}$
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤$\frac{k+1}{k-1}$
故选：B．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在双曲线顶点位置时的情况，以免遗漏答案．