【题目】如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且ABBP2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;
(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于。
【解析】
试题分析:(1)由面面垂直的性质定理可得平面,所以直线,两两垂直,以为原点,分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 为平面的一个法向量,利用向量垂直的性质列方程组求出平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果;(2)设,.由(1)知,平面的一个法向量为,利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.
试题解析:(1)因为平面ABCD⊥平面ABEP,平面ABCD∩平面ABEPAB,BP⊥AB,
所以BP⊥平面ABCD,又AB⊥BC,所以直线BA,BP,BC两两垂直,
以B为原点,分别以BA,BP,BC为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1),
因为BC⊥平面ABPE,所以为平面ABPE的一个法向量,
,设平面PCD的一个法向量为,
则 即令,则,故,
设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为,则,
显然,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值.
(2)设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于.
设,.
由(1)知,平面PCD的一个法向量为,
所以,
即,解得或(舍去).
当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.
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【题目】某国际性会议纪念章的一特许专营店销售纪念章,每枚进价为5元,同时每销售一枚这种纪念章还需向该会议的组织委员会交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时,该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现,每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上,每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为元(每枚的销售价格应为正整数).
(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润(元)与每枚纪念章的销售价格的函数关系式;
(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时,该特许专营店一年内利润(元)最大,并求出这个最大值;
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【题目】分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形。分形是一种具有自相似特性的现象,图象或者物理过程。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构。也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形则当时,该黑色三角形内共去掉( )个小三角形
A. 81 B. 121 C. 364 D. 1093
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【题目】已知椭圆: 过点,且两个焦点的坐标分别为, .
(1)求的方程;
(2)若, , 为上的三个不同的点, 为坐标原点,且,求证:四边形的面积为定值.
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【题目】为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度,某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人,并得到如图所示的年龄频率分布直方图,在这100人中关注度非常髙的人数与年龄的统计结果如右表所示:
年龄 | 关注度非常高的人数 |
15 | |
5 | |
15 | |
23 | |
17 |
(Ⅰ)由频率分布直方图,估计这100人年龄的中位数和平均数;
(Ⅱ)根据以上统计数据填写下面的列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异?
(Ⅲ)按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人,再从六人中随机选两人,求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少.
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
非常髙 | |||
一般 | |||
总计 |
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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