Question

15．设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． [-2，0]
• C． （-2-2$\sqrt{2}$，-2+2$\sqrt{2}}）$）
• D． [0，1]

Answer 1

分析 解法一：由条件得1-ax-x²＜2-a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；
解法二：由1-ax-x²＜2-a，得（1-x）a＜x²+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：法一：由条件得1-ax-x²＜2-a对于x∈[0，1]恒成立
令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）=x²+ax-a+1=（x+$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1．
①当-$\frac{a}{2}$＜0，即a＞0时，g（x）_min=g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②当0≤-$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤0时，g（x）_min=g（-$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1＞0，∴-2-2$\sqrt{2}$＜a＜-2+2$\sqrt{2}$，故-2≤a≤0；
③当-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2时，g（x）_min=g（1）=2＞0，满足，故a＜-2．
综上a＜1．
法二：由1-ax-x²＜2-a得（1-x）a＜x²+1，
∵x∈[0，1]，∴1-x≥0，
∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；
②当x∈[0，1）时，a＜$\frac{{x}^{2}+1}{1-x}$恒成立．
求当x∈[0，1）时，函数y=$\frac{{x}^{2}+1}{1-x}$的最小值．
令t=1-x（t∈（0，1]），则y=$\frac{{x}^{2}+1}{1-x}$=$\frac{（1-t）^{2}+1}{t}$=t+$\frac{2}{t}$-2，
而函数y=t+$\frac{2}{t}$-2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，y_min=1．
故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，
由①②得a＜1．
故选：A

点评 本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想．