Question

设曲线C：y=-ln x（0＜x≤1）在点M（e^-t，t）（t≥0）处的切线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最大值．

Answer 1

解：（1）∵y′=（-lnx）′=-（0＜x≤1），
∴在点M（e^-t，t）处的切线l的斜率为-e^t，
故切线l的方程为y-t=-e^t（x-e^-t），
即e^tx+y-1-t=0；
（2）令x=0，得y=t+1；再令y=0，得x=．
∴S（t）=（t+1）=（t+1）²e^-t（t≥0）．
从而S′（t）=e^-t（1-t）（1+t）．
∵当t∈[0，1）时，S′（t）＞0；
当t∈（1，+∞）时，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值为S（1）=．
分析：（1）求出曲线方程的导函数，把M的横坐标代入导函数即可求出切线方程的斜率，根据M的坐标和求出的斜率写出切线方程即可；
（2）令切线方程中的x=0求出与y轴交点的纵坐标，令y=0求出与x轴交点的横坐标，然后利用三角形的面积公式表示出面积与t的函数，求出导函数为0时t的值，由t的值，在t大于等于0上，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值即可．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握导数在函数最值问题中的应用，是一道综合题．