Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{c-b}{a-b}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$．
（1）求角A；
（2）若cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式可得：c²-bc=a²-b²，利用余弦定理可得cosA，即可得解A的值．
（2）由已知及同角三角函数基本关系式可求sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由正弦定理可得a，由两角和的正弦函数公式可求sinC，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵$\frac{c-b}{a-b}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$．
∴利用正弦定理可得：c²-bc=a²-b²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得a=3，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．