Question

若函数f（x）对于任意的两个不相等的实数x₁，x₂∈A都有0＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1成立，则称f（x）在区间A上为“0-1函数”．则下列函数在定义域上为“0-1函数”的有

 

（请填写相应的序号）．
（1）y=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]；
（2）y=lnx，x＞1；
（3）y=e^x，x∈R；
（4）y=x²+2x+3，0＜x＜1．

Answer 1

分析：根据定义可知满足有0＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1成立的函数的割线斜率k∈（0，1），即可．

解答：解：（1）若y=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，则y'=cosx∈[0，1]，不满足条件，∴不是[0，1]上的“0-1函数”．
（2）若y=lnx，x＞1，则y'=

1

x

，∵x＞1，∴y'=

1

x

∈（0，1），满足条件，是区间（1，+∞）上的“0-1函数”．
（3）若y=e^x，x∈R，则y'=e^x＞0，条件不满足，∴不是R“0-1函数”．
（4）若y=x²+2x+3，0＜x＜1．则y'=2x+2∈（2，4），不满足条件，∴不是（0，1）上的“0-1函数”．
故答案为：（2）

点评：本题主要考查函数的新定义，实质是割线的斜率，利用导数的几何意义即可得到结论．