Question

（2012•宿州一模）已知m为实常数，设命题p：函数f(x)=ln(

1+x2

+x)-mx在其定义域内为减函数；命题q：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立．
（1）当p是真命题，求m的取值范围；
（2）当“p或q”为真命题，“p且q”为假命题时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题条件，先利用导数知识求解p为真时m的范围
（2）由p或q”为真命题，“p且q”为假命题可知P，q中一个为真，一个为假，分类讨论即可求解

解答：解：（1）∵f(x)=ln(

1+x2

+x)-mx的定义域内为R
∵f′(x)=

( 1+x2 +x)′

1+x2 +x

-m=

x 1+x2 +1

1+x2 +x

-mll=

1

1+x2

-m
∵函数f(x)=ln(

1+x2

+x)-mx在其定义域内为减函数
∴f′（x）=

1

1+x2

-m≤0恒成立
∴m≥

1

1+x2

∴m≥1
（Ⅱ）由x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根可得，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8+a2

当a∈[-1，1]时，a²+8≤9即|x₁-x₂|≤3   …（7分）
由题意不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立的解集等价于|m²-5m-3|≥3的解集
∴m²-5m-3≥-3（1）或m²-5m-3≤-3（2）
由（1）可得m≤-1或m≥6
由（2）可得0≤m≤5
所以，当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时，q是真命题．…（9分）
又由题意可知p、q为一真一假．
当p真q假时，解得5＜m＜6；当p假q真时，解得m≤-1或0≤m＜1 …（10分）
综上所述，所求m的取值范围为（-∞，-1]∪[0，1]∪（5，6）…（13分）

点评：本题必要条件、充分条件与充要条件的判断与应用，求解本题关键是对p条件中恒成立问题的正确转化以及q条件中只有一个实数满足不等式这个存在性问题的正确理解与转化．此两点也是本题的易错点．