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17.设幂函数f(x)=(a-1)xk(a∈R,k∈Q)的图象过点$(\sqrt{2},2)$.
(1)求k,a的值;
(2)若函数h(x)=-f(x)+2b$\sqrt{f(x)}$+1-b在[0,2]上的最大值为3,求实数b的值.

分析 (1)根据幂函数的定义和性质进行求解即可求k,a的值;
(2)若函数h(x)=-f(x)+2b$\sqrt{f(x)}$+1-b在[0,2]上的最大值为3,利用一元二次函数的性质即可求实数b的值.

解答 解:(1)设幂函数f(x)=(a-1)xk(a∈R,k∈Q)的图象过点$(\sqrt{2},2)$.
则a-1=1,即a=2,此时f(x)=xk
即$(\sqrt{2})^{k}={2}^{\frac{k}{2}}$=2,即$\frac{k}{2}$=1,解得k=2;
(2)∵a=2,k=2,
∴f(x)=x2
则h(x)=-f(x)+2b$\sqrt{f(x)}$+1-b=-x2+2bx+1-b
=-(x-b)2+1-b+b2
若b<0,则函数h(x)在[0,2]上单调递减,最大值为h(0)=1-b=3,即b=-2,满足条件.
若0≤b≤2,此时当x=b时,最大值为h(b)=1-b+b2=3,
即b2-b-2=0,解得b=2或b=-1(舍).
若b>2,则函数h(x)在[0,2]上单调递增,最大值为h(2)=3b-3=3,即b=2,不满足条件
综上b=-2或b=2.

点评 本题主要考查幂函数的定义和性质的应用以及一元二次函数的性质,利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键.注意要进行分类讨论.

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