【题目】已知抛物线C顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线C上一点Q(a,2)到焦点的距离为3,线段AB的两端点A(x1 , y1)、B(x2 , y2)在抛物线C上.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若y轴上存在一点M(0,m)(m>0),使线段AB经过点M时,以AB为直径的圆经过原点,求m的值;
(3)在抛物线C上存在点D(x3 , y3),满足x3<x1<x2 , 若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形,求△ABD面积的最小值.
【答案】
(1)解:设抛物线的C方程x2=2py(p>0),则焦点F(0, ),准线方程:y=﹣ ,
过点Q向准线l作垂线,垂足为Q1,
由抛物线的定义可得:丨QF丨=丨QQ1丨,
∴2﹣(﹣ )=3,p=2,
∴抛物线方程:x2=4y
(2)解:设直线AB的方程:y=kx+m,则 ,整理得:x2﹣4kx﹣4m=0,
则x1+x2=4k,x1x2=﹣4m,
由AB为直径的圆经过原点,则 ⊥ , =0,
则x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0
∴(1+k2)×(﹣4m)+km×4k+m2=0,整理得m2﹣4m=0,解得:m=4或m=0,
由m>0,则m=4,
∴m的值4
(3)解:设直线AB的斜率为k,k>0,其方程y﹣y1=k(x﹣x1),即y=kx+y1﹣kx1,
∴ ,整理得:x2﹣4kx+4kx1﹣4y1=0,
∴x1+x2=4k,x2=﹣x1+4k,
丨AB丨2=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2],
=(1+k2)[(4k)2﹣4x1(﹣x1+4k)],
=4(1+k2)(x12﹣4kx1+4k2),
同理丨AD丨=4[1+(﹣ )2][x12﹣4(﹣ )x1+4(﹣ )2],
=4(1+ )(x12+ x1+ ),
由丨AB丨=丨AD丨,则丨AB丨2=丨AD丨2,4(1+k2)(x12﹣4kx1+4k2),=4(1+ )(x12+ x1+ ),
整理得:x1= =k﹣ ,
则丨AB丨2=4(1+k2)[(k﹣ )2﹣4k(k﹣ )+4k2]=4(1+k2)(k+ )2,丨AB丨=2 (k+ ),
丨AD丨2=4(1+ )[(k﹣ )2+ (k﹣ )+ ]4(1+ )(k+ )2,丨AD丨=2 (k+ ),
∴△ABD面积S= ×丨AB丨×丨AD丨= ×2 (k+ )×2 (k+ ),
= =2(k+ )3≥2(2 )3=16,
当且仅当k= 时,即k2=1,即k=1,取等号,
∴△ABD面积的最小值16
【解析】(1)根据抛物线的定义,丨QF丨=丨QQ1丨,即可求得p的值,即可求得抛物线方程;(2)设AB的方程,代入椭圆方程,由 =0,根据向量数量积的坐标运算及韦达定理,即可求得m的值;(3)由直线的点斜式方程,求得直线AB的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,即可求得x2=﹣x1+4k,根据弦长公式,由丨AB丨=丨AD丨,即可求得x1=k﹣ ,根据三角形的面积公式及基本不等式的性质,即可求得△ABD面积的最小值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点A(0,﹣2),椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=|x﹣2|+|x+4|,g(x)=x2+4x+3.
(1)求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若f(x)≥|1﹣5a|恒成立,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= (x>0),m∈R.
(1)若函数f(x)有零点,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象在点(1,f(x))处的切线的斜率为 ,且函数f(x)的最大值为M,求证:1<M< .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,M是PD的中点,AC⊥AD,BA⊥BC,PC=AC=2BC,∠ACD=∠ACB.
(1)求证:PA⊥CM;
(2)求二面角M﹣AC﹣P的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】祖暅(公元前5~6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆 =1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于 .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个公司有8名员工,其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600,另两名员工数据不清楚,那么8位员工月工资的中位数不可能是( )
A.5800
B.6000
C.6200
D.6400
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c= ,△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com