Question

已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，且满足f（x+y）=f（x）f（y），f（2）=

1

9

，试求不等式f（x）f（3x-1）＜

1

27

．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x+y）=f（x）f（y）和f（2）=

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9

，求出f（1）的值，可得f（3）=

1

27

，将不等式化为f（4x-1）＜f（3），根据函数的单调性列出具体的不等式．

解答： 解：由题意得，f（x+y）=f（x）f（y），f（2）=

1

9

，
所以f（1+1）=f（1）f（1），解得f（1）=

1

3

，
则f（3）=f（1+2）=f（1）f（2）=

1

27

，
所以不等式f（x）f（3x-1）＜

1

27

化为f（4x-1）＜f（3），
又函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
所以4x-1＞3，解得x＞1，
故不等式的解集是（1，+∞）．

点评：本题考查了抽象函数的函数值，以及利用函数的单调性求解不等式问题，主要利用赋值法求出抽象函数的函数值．