Question

（分）对于元集合，若元集，

满足：，且，则称是集的一个“等和划分”（与算是同一个划分）．试确定集共有多少个“等和划分”．

Answer 1

解析:

法一：不妨设，由于当集确定后，集便唯一确定，故只须考虑集的个数，设，为最大数，由，则

，，于是 ，

故中有奇数个奇数．

、若中有个奇数，因中的六个奇数之和为，而，则

，这时得到唯一的；

、若中有个奇数、两个偶数；用表示中这两个偶数之和；表示中这三个奇数之和，则，于是．共得的种情形．其中，

、当，则，，；可搭配成的个情形；

、当，则，；可搭配成的个情形；

、当，则，，，可搭配成的个情形；

、当，则，，，可搭配成的个情形；

、当，则，，可搭配成的个情形；

、当，则，；可搭配成的个情形；

、当，则，；可搭配成的个情形．

、若中有一个奇数、四个偶数，由于中除外，其余的五个偶数和，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使中五数之和为，分别得到的个情形：．

综合以上三步讨论，可知集有种情形，即有种“等和划分”．

法二：元素交换法，显然，恒设；

、首先注意极端情况的一个分划：，显然数组与中，若有一组数全在中，则另一组数必全在中；

以下考虑两数至少一个不在中的情况，为此，考虑中个数相同且和数相等的元素交换：

、；；；

；共得到个对换；

、；；；

；；共得到个对换；

、；；；

；；

；共得到个对换．每个对换都得到一个新的划分，因此，本题共得种等和划分．