Question

（2009•闸北区一模）已知复数z₁满足（1+i）z₁=3+i，复数z₀满足z0•z1+

.

z0

=4．
（1）求复数z₀；
（2）设z₀是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，求p、q的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的复数满足的条件，表示出复数，进行复数的除法运算，得到代数形式的标准形式，根据两个复数之间的关系，利用复数相等的条件得到结果．
（2）z₀是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，得1-i是实系数方程x²-px+q=0的根，根据根与系数之间的关系，写出字母系数的表示式，得到结果．

解答：解：（1）因为（1+i）z₁=3+i，所以z1=

3+i

1+i

=2-i，（2分）
设z₀=a+bi（a，b∈R），且z0•z1+

.

z0

=4．
所以（a+bi）（2-i）+a-bi=4⇒（3a+b）+（b-a）i=4（2分）
由两复数相等的定义得：

3a+b=4 b-a=0

，解得

a=1 b=1

（1分）
所以复数z₀=1+i．（1分）
（2）z₀是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，
得1-i是实系数方程x²-px+q=0的根，（2分）
所以p=（1+i）+（1-i）=2（2分）
q=（1+i）•（1-i）=2（2分）

点评：本题考查实系数的一元二次方程的根与系数的关系，本题解题的关键是根据所给的一个虚数根写出另一个虚数根，本题是一个中档题目．