Question

（2008•湖北模拟）已知向量

a

=(2cosx，tan(x+α))，

b

=(

2

sin(x+α)，tan(x-α))，已知角α(α∈(-

π

2

，

π

2

))的终边上一点P（-t，-t）（t≠0），记f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最大值，最小正周期；
（2）作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（1）由角α(α∈(-

π

2

，

π

2

))的终边上一点P（-t，-t）（t≠0），可得tanα=1，即α=

π

4

，进而得到f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，再结合正弦函数的性质可得答案．
（2）首先根据x的范围求出2x+

π

4

的范围，再列表，进而结合五点作图法画出函数的图象．

解答：解：（1）因为角α(α∈(-

π

2

，

π

2

))的终边上一点P（-t，-t）（t≠0）
所以tanα=1，
所以α=

π

4

，
所以f(x)=

a

•

b

=2

2

cosxsin(x+

π

4

)+tan(x+

π

4

)(x-

π

4

)
=2cosxsinx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)
所以f（x）的最大值为

2

，最小正周期T=π．
（2）列表：

2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
y	1	2	0	- 2	0	1

所以f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)的图象为：

点评：本题主要考查了利用二倍角的正弦余弦公式对三角函数式的化简，辅助角公式ainx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)的运用，正弦函数的最值及周期性的求解，五点法作三角函数的图象，灵活运用三角函数的性质是解决本题的关键．