函数
⑴ 求证:的图像关于直线y=x对称;
⑵ 函数的图像与函数
的图像有且只有一个交点,求实数
的值;
⑶ 是否存在圆心在原点的圆与函数的图象有且只有三个交点,如果存在,则求出此圆的半径;如果不存在,请说明理由。
(1)见解析(2)或
(3)见解析
⑴ 解一:由可知函数图像即为反比例函数
的图像经向右平移1个单位后再向上平移1个单位得到。则函数图像关于直线y=x对称…………………………………….….4’
解二:函数的反函数
,所以
的图像关于直线y=x对称………….4’
⑵ 由题意得有且只有一解。
时,由判别式等于0可得
……………………………………3’
时,由图像易得同样满足题意………………………..………………2’
所以……………………………………………..………..…1’
⑶ 解一:由函数图像可得若存在满足题意的圆,则圆与函数的图像必在第一象限相切,即圆过(2,2)点,可得圆半径为
,所以存在满足题意的圆,其半径为
……....4’
r =代回检验得满足题目要求,所以存在满足题意的圆,其半径为
…..2’
解二:由⑴与圆的对称性可得交点必关于直线y=x对称 ……………...…..2’
如果有且仅有三个交点,则必有一个交点在直线y=x上,即这个交点就是函数y=与直线y=x的交点 ……………………………………….……..…..2’
求得交点有两个(0,0)、(2,2),其中(0,0)不满足题意,而过(2,2)时圆的半径为。r =
代回检验得满足题目要求,所以存在满足题意的圆,其半径为
所以存在满足题意的圆,其半径为 .…………..2’
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