Question

（本小题满分15分）如图，四面体C—ABD，CB = CD，AB = AD，

∠BAD = 90°.E、F分别是BC、AC的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥BD；（Ⅱ）如何在AC上找一点M，使BF∥平面MED？并说明理由；（Ⅲ）若CA = CB，求证：点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点.

Answer 1

（I）略（II）略

解析:

：（Ⅰ）取BD的中点O，连接AO，CO，在△BCD中，

    ∵BC = DC，∴CO⊥BD，同理AO⊥BD

    而AO∩CO = O，∴BD⊥平面AOC，    又平面AOC，∴AC⊥BD.

   （Ⅱ）取FC的中点M，连接EM，DM，    ∵E是BC的中点，∴BF∥EM，

∵平面MED，∴BF∥平面MED，∴FC的中点M即为所求.

   （Ⅲ）∵△ABD是等腰直角三角形，∠BAD = 90°，

∴AO = BO = DO；∵CA = CB = CD，CO是公共边，

∴△COA≌△COB≌△COD；∴∠COA=90°，即CO⊥AO，

又CO⊥BD，AO∩BD = O，∴CO⊥平面ABD

即点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点 。

点评：立体几何中关于点、线、面的垂直与平行问题应该熟练掌握，是高考常考考点。复习时注意培养自己的空间想象能力，考虑问题要全面，会由图形表现空间形体，又会由图形想象出直观的形象。