Question

设n∈N^*，圆C_n：x²+y²=R_n²（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=

x

的交点为N（x_n，y_n），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．若数列{x_n}满足：x_n+1=4x_n+3，x₁=3．则常数p=

 

使数列{a_n+1-p•a_n}成等比数列．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据条件求出x_n，y_n的关系，利用递推数列，结合等比数列的通项公式和定义，进行推理即可得到结论．

解答： 解：y=

x

与圆C_n交于点N，则R_n²=x_n²+y_n²=x_n²+x_n，
即R_n=

x 2 n +xn

，
由题可知，点M的坐标为（0，R_n），从而直线MN的方程为

x

an

+

y

Rn

=1，由点N（x_n，y_n），在直线MN上得：

x

an

+

y

Rn

=1，
将R_n=

x 2 n +xn

，y_n=

xn

代入化简得：a_n=1+x_n+

1+xn

．
由x_n+1=4x_n+3，得：1+x_n+1=4（1+x_n），
又1+x₁=4，故1+x_n=4•4^n-1=4ⁿ，
即a_n=4n+

4n

=4ⁿ+2ⁿ，
a_n+1-p•a_n=4ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-p（4ⁿ+2ⁿ）=（4-p）4ⁿ+（2-p）2ⁿ，
a_n+2-p•a_n+1=4ⁿ⁺²+2ⁿ⁺²-p（4ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹）=（16-4p）4ⁿ+（4-2p）2ⁿ，
令a_n+2-p•a_n+1=q（a_n+1-p•a_n）得：
（16-4p）4ⁿ+（4-2p）2ⁿ=q（4-p）4ⁿ+q（2-p）2ⁿ，
由等式（16-4p）2ⁿ+（4-2p）=q（4-p）2ⁿ+q（2-p）对任意n∈N^•成立得：

18-4p=q(4-p) 4-2p=q(2-p)

，
即

pq=8 p+q=6

，解得：

p=2 q=4

或

p=4 q=2

，
故当p=2时，数列{a_n+1-p•a_n}成公比为4的等比数列；
当p=4时，数列{a_n+1-p•a_n}成公比为2的等比数列．
故答案为：2或4

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等比数列的推理和判断，综合性较强，运算量较大．