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设函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1),f(x)的反函数f-1(x)的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当点(x,y)是y=f(x)图象上的点时,点(
x
3
y
2
)
是函数y=g(x)上的点,求函数y=g(x)的解析式:
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当g(
kx
3
)
-f(x)≥0时,求x的取值范围(其中k是常数,且k≥
3
2
).
分析:第一问可以利用互为反函数的两个函数图象关于y=x对称进行求解.
第二问可根据点(x,y)是y=f(x)图象上的点时,点(
x
3
y
2
)
是函数y=g(x)上的点再结合第一问可列两个式y=f(x)=log2(x+1),
y
2
=g(
x
3
)
然后利用换元求解.
第三问在(1)(2)的条件下代入求解含参不等式,注意对根的大小进行分类讨论
解答:解:(1)由题意知f-1(x)的图象与直线y=x的两个交点为(0,0),(1,1)
∴函数f(x)=loga(x+b)过(0,0),(1,1)两点
logab=0
loga(1+b)=1
即b=1,a=2
∴f(x)=log2(x+1)
(2)∵点(x,y)是y=f(x)图象上的点
∴y=f(x)=log2(x+1)
∵点(
x
3
y
2
)
是函数y=g(x)上的点
y
2
=g(
x
3
)吗
log2(x+1)
2
=g(
x
3

用3x代x:g(x)=
log2(3x+1)
2

(3)∵g(
kx
3
)
-f(x)≥0
∴log2(kx+1)-2log2(x+1)≥0
kx+1
(x+1)2
≥ 1
x+1>0
且kx+1>0且k≥
3
2

∴当
3
2
≤k≤2
时   k-2≤x≤0
  当 k>2时  0≤x≤k-2
点评:此题的综合性较强,层层递进,环环相扣.第二问考查了换元法求解析式,第三问考查了用分类讨论的思想接一元二次不等式.
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