Question

设函数f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函数f^-1（x）的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点(

x

3

，

y

2

)是函数y=g（x）上的点，求函数y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当g(

kx

3

)-f（x）≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥

3

2

）．

Answer 1

分析：第一问可以利用互为反函数的两个函数图象关于y=x对称进行求解．
第二问可根据点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点(

x

3

，

y

2

)是函数y=g（x）上的点再结合第一问可列两个式y=f（x）=log₂（x+1），

y

2

=g(

x

3

)然后利用换元求解．
第三问在（1）（2）的条件下代入求解含参不等式，注意对根的大小进行分类讨论．

解答：解：（1）由题意知f^-1（x）的图象与直线y=x的两个交点为（0，0），（1，1）
∴函数f（x）=log_a（x+b）过（0，0），（1，1）两点
∴

logab=0 loga(1+b)=1

即b=1，a=2
∴f（x）=log₂^（x+1）
（2）∵点（x，y）是y=f（x）图象上的点
∴y=f（x）=log₂^（x+1）
∵点(

x

3

，

y

2

)是函数y=g（x）上的点
∴

y

2

=g（

x

3

）吗
∴

log2(x+1)

2

=g（

x

3

）
用3x代x：g（x）=

log2(3x+1)

2

（3）∵g(

kx

3

)-f（x）≥0
∴log₂^（kx+1）-2log₂^（x+1）≥0
∴

kx+1 (x+1)2 ≥ 1 x+1＞0

且kx+1＞0且k≥

3

2

∴当

3

2

≤k≤2时   k-2≤x≤0
  当 k＞2时  0≤x≤k-2

点评：此题的综合性较强，层层递进，环环相扣．第二问考查了换元法求解析式，第三问考查了用分类讨论的思想接一元二次不等式．