Question

15．已知点A（-2，2），B（-2，6），C（4，-2），点P坐标满足x²+y²≤4，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围是[72，88]．

Answer 1

分析 表示出|PA|²+|PB|²+|PC|²，利用点P满足x²+y²≤4，即可得出结论．

解答 解：∵点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），
∴设P（a，b），
则|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（a+2）²+（b+2）²+（a+2）²+（b-6）²+（a-4）²+（b+2）²
=3a²+3b²-4b+68，
∵点P满足x²+y²≤4，
∴a²+b²≤4，
∴-2≤b≤2．
把a²=4-b²代入3a²+3b²-4b+68
=12-3b²+3b²-4b+68
=-4b+80，
∵-2≤b≤2，
所以-8≤-4b≤8
80-8≤80-4b≤80+8，
72≤-4b+80≤88
∴最大值是88，最小值是72，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围是[72，88]．
故答案为[72，88]．

点评 本题考查平面上两点间距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．