(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.
(1) a≤0(2) f(x)max=-6,f(x)min=-18.
解析试题分析:(1)对f(x)求导,得f′(x)=3x2-2ax-3.………………1分
由f′(x)>0(x≥1),得a< (x-
).………………2分
记t(x)= (x-
),
当x≥1时,t(x)是增函数,∴t(x)min= (1-1)=0.………………3分
∴a<0,又∵a=0时也符合题意,故a≤0.………………4分
(2)由题意,得f′(3)=0,即27-6a-3=0,∴a=4,………………6分
∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3.
令f′(x)=0,得x1=-,x2=3.………………8分
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:x (-∞,- )
- (- ,3)
3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ?
极大值 ? 极小值 ?
∴当x∈(-∞,-]与[3,+∞)时,f(x)是增函数;当x∈[-
,3]时,f(x)是减函数.
于是,当x∈[1,4]时,有极小值f(3)=-18;………………10分
而f(1)=-6,f(4)=-12,
∴f(x)max=f(1)=-6,f(x)min=-18.………………12分
考点:利用导数判定函数单调性,求函数的最值
点评:解(1)过程中将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)设为奇函数,a为常数。
(1)求a的值;
(2)证明在区间
上为增函数;
(3)若对于区间上的每一个
的值,不等式
恒成立,求实数m 的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知
(1)如果函数的单调递减区间为
,求函数
的解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数的图像过点
的切线方程;
(3)对一切的,
恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数,曲线
过点
,且在点
处的切线斜率为2.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的极值点;
(Ⅲ)对定义域内任意一个,不等式
是否恒成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
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