Question

6．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长都是1，∠BAC=∠BAA₁=∠CAA₁=60°，点M，N分别是AB，CC₁的中点，记$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AC}$=b，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=c．
（1）用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{MN}$；
（2）求$\overrightarrow{MN}$的模长．

Answer 1

分析 （1）根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得到$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$，然后进行向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$；
（2）求${\overrightarrow{MN}}^{2}=（-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}）^{2}$，然后根据条件进行数量积的运算，便可求出${\overrightarrow{MN}}^{2}$，这样即可得出$|\overrightarrow{MN}|$．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$；
（2）${\overrightarrow{MN}}^{2}=（-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}）^{2}$
=$\frac{1}{4}{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{c}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{4}$；
∴$\overrightarrow{MN}$的模长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，相等向量的概念，以及向量的数乘运算，求向量的平方从而求出向量长度的方法．