【题目】已知函数.
(1)时,解关于x的不等式;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)化简不等式,分类讨论去掉绝对值,即可求解,得到答案.
(2)f(x)≤0恒成立时,x29a|x3|≥0恒成立,可分x=3、x>3和x<3时,三种情况讨论,即可求解,得到答案.
(1)由题意,当a=2时,不等式x2+2|x3|+9≥0,
当x≥3时,(x3)(x+1)≤0,解得1≤x≤3,即x=3;
当x<3时,不等式可化为(x3)(x+5)≤0,解得5≤x≤3,即5≤x<3;
综上所述,不等式的解集为[5,3].
(2)由f(x)≤0恒成立时,即x29a|x3|≥0恒成立,
①当x=3时,不等式恒成立,∴a∈R;
②当x>3时,不等式(x3)(x+3a)≥0恒成立,∴x+3a≥0恒成立,∴a≤6;
③当x<3时,不等式(x3)(x+3+a)≥0恒成立,∴x+3+a≤0恒成立,∴a≤6;
综上所述,a的取值范围是(-∞,6].
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【题目】已知圆过点,且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)平面上有两点,点是圆上的动点,求的最小值;
(3)若是轴上的动点,分别切圆于两点,试问:直线是否恒过定点?若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
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【题目】点为所在的平面内,给出下列关系式:
①;
②;
③.
则点依次为的( )
A.内心、重心、垂心B.重心、内心、垂心C.重心、内心、外心D.外心、垂心、重心
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线与椭圆交于两点,延长交椭圆于点,的周长为8.
(1)求的离心率及方程;
(2)试问:是否存在定点,使得为定值?若存在,求;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列,前n项和为,对任意的正整数n,都有恒成立.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知关于n的不等式…对一切恒成立,求实数a的取值范围;
(3)已知 ,数列的前n项和为,试比较与的大小并证明.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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【题目】已知直线,和两点,给出如下结论其中真命题的序号是________
①当变化时,与分别经过定点和;
②不论为何值时,与都互相垂直;
③如果与交于点,则的最大值是2;
④为直线上的点,则的最小值是.
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