Question

（不等式选讲选做题）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-

1

2

|+|x-

3

2

|)恒成立，试求实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得|x-

1

2

|+|x-

3

2

|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值，故所求x的范围即为不等式|x-

1

2

|+|x-

3

2

|
≤2的解集．再根据数轴上0和2对应点到

1

2

和

3

2

对应点的距离之和等于2，可得实数x的取值范围．

解答：解：由题意可得|x-

1

2

|+|x-

3

2

|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

 恒成立，
故|x-

1

2

|+|x-

3

2

|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值，
而

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2，故所求x的范围即为不等式|x-

1

2

|+|x-

3

2

|≤2的解集．
由于|x-

1

2

|+|x-

3

2

|表示数轴上的x对应点到

1

2

和

3

2

对应点的距离之和，
又由于数轴上0和2对应点到

1

2

和

3

2

对应点的距离之和等于2，
故不等式|x-

1

2

|+|x-

3

2

|≤2的解集为[0，2]，
故答案为[0，2]．

点评：本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断于|x-

1

2

|+|x-

3

2

|表示数轴上的x对应点到

1

2

和

3

2

对应点的
距离之和，是解题的关键，属于中档题．