Question

4．（1）已知$\overrightarrow a=（8，4）$，求与$\overrightarrow a$垂直的单位向量的坐标．
（2）若$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120⁰，求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的值．

Answer 1

分析 （1）设出与$\overrightarrow a$垂直的单位向量$\overrightarrow e=（x，y）$，根据题意列出方程组求出x、y的值即可；
（2）根据平面向量的数量积求出模长即可．

解答 解：（1）设与$\overrightarrow a$垂直的单位向量为$\overrightarrow e=（x，y）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\ 8x+4y=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ y=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$．
所以$\overrightarrow{e}$=（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
（2）$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120⁰，
所以${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$
=2²+2×2×1×cos120°+1²
=3，
所以$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了单位向量与模长公式的应用问题，是基础题目．