Question

已知命题P：函数f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2；命题Q：不等式x+|x-m|＞1对任意x∈R恒成立．如果上述两个命题中有且仅有一个真命题，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出p，q为真命题时m的条件，将两个命题中有且仅有一个真命题转化为①P真Q假②P假Q真两类，再将结果合并即可．

解答：解：若命题P为真，由f（x）=（x-2m）²+2，对称轴x=2m
当2m≤1即m≤-

1

2

时，f（x）在[-1，3]上为增函数f（x）_min=f（-1）=4m²+4m+3=2即4m²+4m+1=0
得m=-

1

2

当-1＜2m≤3即-

1

2

＜m≤

3

2

时f（x）_min=f（2m）=2符合
当2m＞3即m＞

3

2

时，f（x）在[-1，3]上为减函数f（x）_min=f（3）=4m²-12m+11=2即（2m-3）²=0m=

3

2

不符合
综上可知，若P为真，则-

1

2

≤m≤

3

2

…（4分）
又若命题Q为真，由x+|x-m|=

2x-m(x≥m) m(x＜m)

∴要不等式x+|x-m|＞1对任意x∈R恒成立，则m＞1
∴若Q为真，则则m＞1…（7分）
而上述两个命题中有且仅有一个真命题
∴①当P真Q假，有

- 1 2 ≤m≤ 3 2 m≤1

得-

1

2

≤m≤1…（9分）
②当P假Q真，有

m＜- 1 2 或m≥ 3 2 m＞1

得m＞

3

2

…（11分）
综合①②知，满足条件的实数m的取值范围是[-

1

2

，1]∪(

3

2

，+∞)…（12分）

点评：本题考查复合命题真假成立才条件，一般转化成简单命题真假处理．考查分类讨论、计算、逻辑思维能力．