Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-x）cos（2π-x）-cos²x．
（1）求函数f（x）的单凋递增区间；
（2）若θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{10}$，求tan（θ+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（2）由条件求得cosθ=$\frac{3}{10}$的值，可得sinθ 和tanθ 的值，从而求得tan（θ+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-x）cos（2π-x）-cos²x=$\sqrt{3}$sinx•cosx-$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$）=sin（θ+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=cosθ=$\frac{3}{10}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{91}}{10}$，∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{91}}{3}$，
∴tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ+1}{1-tanθ}$=$\frac{50+3\sqrt{91}}{41}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，属于中档题．