Question

已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．（不需要严格证明）

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x，知当x＜0时，f（x）=f（-x）=x²+2x，由此能求出f（x）的解析式．
（2）当x≥0时，y=x²-2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，顶点坐标（1，-1），当y=0时，x₁=0，x₂=2；当x=0时，y=0；当x＜0时，y=x²+2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x=-1，顶点坐标（-1，-1），当y=0时，x=-2．由此能作出函数f（x）的图象．结合图象，能求出f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x，
当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
∴f（x）=f（-x）=x²+2x，
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
（2）∵f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

，
∴当x≥0时，y=x²-2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，顶点坐标（1，-1），
当y=0时，x₁=0，x₂=2；当x=0时，y=0．
当x＜0时，y=x²+2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x=-1，顶点坐标（-1，-1），
当y=0时，x=-2．
由此能作出函数f（x）的图象如下：

结合图象，知f（x）的增区间是（-1，0），（1，+∞）；减区间是（-∞，-1），（0，1）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数图象的作法，考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答．