Question

设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)=x³+ax与g(x)=bx²+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（1）用t表示a，b，c；

（2）若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，求t的取值范围.

Answer 1

思路点拨：本题利用导数的几何意义以及两个函数的图象有公共点，从而这个公共点的坐标适合这两个函数的解析式，由此将问题解决.

解：（1）因为函数f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），所以f(t)=0，即t³+at=0.因为t≠0,所以a=-t².g(t)=0，即bt²+c=0，故c=ab.又因为f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以f′(t)=g′(t)，而f′(x)=3x²+a，g′(x)=2bx，所以3t²+a=2bt，将a=-t²代入上式得b=t.因此c=ab=-t³，故a=-t²，b=t，c=-t³.

（2）y=f(x)-g(x)=x³-t²x-tx²+t³,y′=3x²-2tx-t²=(3x+t)(x-t),而函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，且y′=(3x+t)(x-t)是x∈(-1,3)上的抛物线，所以即

    解得t≤-9或t≥3.

    所以t的取值范围为(-∞,-9］∪［3,+∞).

[一通百通]对于有关求曲线的切线方程问题，要充分利用导数的几何意义来求解.注意求一条曲线在某点处的切线与过某点的切线的差异，否则容易出错.