【题目】已知圆C: ,直线l:
(Ⅰ)求直线l所过定点A的坐标;
(Ⅱ)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长;
(Ⅲ)已知点,在直线MC上(C为圆心),存在定点N(异于点M),满足:对于圆C上任一点P,都有
为一常数,试求所有满足条件的点N的坐标及该常数。
【答案】(1)直线过定点
(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)将直线中m合并到一起,然后令系数及剩余都为0即可得定点(2)直线l被圆C所截得的弦长最短时即当时(3)由题知,直线
的方程为
,假设存在定点
满足题意,则设
,
,得
,且
再根据圆系方程可得对任意
恒成立,
且
即可求出结论
试题解析:
解:(Ⅰ)依题意得,
令且
,得
直线
过定点
(Ⅱ)当时,所截得弦长最短,由题知
,
,得
,
由
得
圆心到直线的距离为
最短弦长为
(Ⅲ)法一:由题知,直线的方程为
,假设存在定点
满足题意,
则设,
,得
,且
整理得,
上式对任意
恒成立,
且
解得 或
(舍去,与
重合)
综上可知,在直线上存在定点
,使得
为常数
法二:设直线上的点
取直线与圆
的交点
,则
取直线与圆
的交点
,则
令,解得
或
(舍去,与
重合),此时
若存在这样的定点满足题意,则必为
,
下证:点满足题意,
设圆上任意一点,则
综上可知,在直线上存在定点
,使得
为常数
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场预计全年分批购入每台2000元的电视机共3600台.每批都购入台(
是自然数)且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所需付的保管费 与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43600元.现在全年只有24000元资金可以支付这笔费用,请问,能否恰当安排每批进货数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为方便市民休闲观光,市政府计划在半径为200,圆心角为
的扇形广场内(如图所示),沿△
边界修建观光道路,其中
、
分别在线段
、
上,且
、
两点间距离为定长
.
(1)当时,求观光道
段的长度;
(2)为提高观光效果,应尽量增加观光道路总长度,试确定图中、
两点的位置,使观光道路总长度达到最长?并求出总长度的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线l1:x+2y﹣1=0,l2:2x+ny+5=0,l3:mx+3y+1=0,若l1∥l2且l1⊥l3,则m+n的值为( )
A.﹣10B.﹣2C.2D.10
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