【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,左顶点为
,过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
,交
轴于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为
的中点,是否存在定点
,对于任意的
都有
,若存在,求出点
的
坐标;若不存在说明理由;
(3)若过点作直线
的平行线交椭圆
于点
,求
的最小值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率和左顶点,求出a,b,由此能求出椭圆C的标准方程.
(2)直线l的方程为y=k(x+4),与椭圆联立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12)]=0,由此利用韦达定理、直线垂直,结合题意能求出结果.
(3)OM的方程可设为y=kx,与椭圆联立得M点的横坐标为,由
,,能求出结果.
试题解析:
(1)因为左顶点为,所以
,又
,所以
又因为,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)直线的方程为
,由
消元得
化简得, ,
所以
当时,
,
所以.因为点
为
的中点,所以点
的坐标为
,
则.
直线的方程为
,令
,得点
的坐标为
,
假设存在定点使得
,
则,即
恒成立,
所以恒成立,所以
即
因此定点的坐标为
.
(3)因为,所以
的方程可设为
,
由得
点的横坐标为
由,得
,
当且仅当即
时取等号,
所以当时,
的最小值为
.
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【题目】已知等差数列{an}的公差d≠0,且a3 , a5 , a15成等比数列,若a1=3,Sn为数列an的前n项和,则anSn的最小值为( )
A.0
B.﹣3
C.﹣20
D.9
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【题目】2016年6月22日“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”,某机构随机抽取了年龄在15—75岁之间的100人进行调查,并按年龄绘制成频率分布直方图,如图所示,其分组区间为: .把年龄落在区间自
和
内的人分别称为“青少年”和“中老年”.
关注 | 不关注 | 合计 | |
青少年 | 15 | ||
中老年 | |||
合计 | 50 | 50 | 100 |
(1)根据频率分布直方图求样本的中位数(保留两位小数)和众数;
(2)根据已知条件完成下面的列联表,并判断能否有
的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”;
临界值表:
附:参考公式
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
.
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【题目】用部分自然数构造如图的数表:用表示第
行第
个数
,使得
,每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,设第
行中的各数之和为
.
已知,求
的值;
令,证明:
是等比数列,并求出
的通项公式;
数列中是否存在不同的三项
恰好成等差数列?若存在,求出
的关系,若不存在,说明理由.
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【题目】下列函数既是奇函数,又在[﹣1,1]上单调递增是( )
A.f(x)=|sinx|
B.f(x)=ln
C.f(x)= (ex﹣e﹣x)
D.f(x)=ln( ﹣x)
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【题目】已知两条直线l1:ax﹣by+4=0,l2:(a﹣1)x+y+b=0. 求满足下列条件的a,b值.
(Ⅰ)l1⊥l2且l1过点(﹣3,﹣1);
(Ⅱ)l1∥l2且原点到这两直线的距离相等.
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【题目】已知椭圆的方程为
(
)的离心率为
,圆
的方程为
,若椭圆
与圆
相交于
,
两点,且线段
恰好为圆
的直径.
(1)求直线 的方程;
(2)求椭圆 的标准方程.
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