Question

已知圆C的圆心坐标为（2，-1），半径为1
（1）求圆C的方程；
（2）求经过原点O且与圆C相切的直线方程；
（3）若直线经过原点O且与圆C相切于点Q，求线段OQ的长．

Answer 1

分析：（1）根据圆的标准方程，可直接写出圆方程的标准形式；
（2）由于直线l过原点且与圆相切，得到直线l的斜率存在，所以设出直线l的方程为y=kx，
然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，即得直线方程；
（3）由圆的标准方程知，OC=

5

，r=1，故可得到线段OQ的长．

解答：解：（1）∵圆C的圆心坐标为（2，-1），半径为1，
∴根据圆的标准方程，得所求圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=（1）²
即（x-2）²+（y+1）²=1；
（2）由直线l过原点，当直线l的斜率不存在时，不合题意，
则设直线l的方程为y=kx，
因为直线l与已知圆相切，所以圆心到直线的距离d=

|2k+1|

k2+1

=r=1，
化简得：3k²+4k=0，解得：k=0或k=-

4

3

则直线l的方程为：y=0或y=-

4

3

x；
（3））∵圆C的圆心坐标为（2，-1），半径为1，
∴OC=

22+(-1)2

=

5

，r=1，
又由OQ²=OC²-r²
故OQ=2．

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．