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    如图,已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线与x轴交于K点.

    （1）求证：KF平分∠MKN；

    （2）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，求的最小值.

     

    【答案】

    （1）见解析；（2）8.

    【解析】

    试题分析：（1）只需证，设出M，N两点坐标和直线MN方程，再把直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得证；（2）由（1）设出的M，N两点坐标分别先求出P、Q两点坐标，还是把设出的直线MN方程与抛物线方程联立，由韦达定理把表示出来，再根据直线MN的倾斜角的范围求的最小值.

    试题解析：（1）抛物线焦点坐标为，准线方程为.       2分

    设直线MN的方程为。设M、N的坐标分别为

    由,   ∴.  4分

    设KM和KN的斜率分别为，显然只需证即可. ∵，

    ∴ ，        6分

    （2）设M、N的坐标分别为，由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为，由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为，    7分

    设直线MN的方程为。由

    ∴则

         9分

    又直线MN的倾斜角为，则 

    ∴ .10分

    同理可得.  13分

    (时取到等号) .       15分

    考点：1、抛物线的方程及性质；2、直线与曲线相交的性质.

     

    练习册系列答案
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    (1)求证:A、F1、B、F2四点共圆;

    (2)以BF1为直径,作半圆O1,AF切半圆于E,交F1B延长线于F,求cosF的值.

    图20

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    如图已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点．

    (1)求抛物线的方程；

    (2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年陕西省西安市高三下学期期中考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点.

    （Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；

    （Ⅱ）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省盐城市高三摸底考试数学卷 题型：解答题

    （本小题满分16分）

    如图，已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为8且位于轴上方的点. 到抛物线准线的距离等于10，过作垂直于轴，垂足为，的中点为（为坐标原点）.

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）过作，垂足为，求点的坐标；

    （Ⅲ）以为圆心，4为半径作圆，点是轴上的一个动点，试讨论直线与圆的位置关系.

                           

     

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