Question

线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．
（Ⅰ）求y=f（x）的函数表达式及函数的定义域；
（Ⅱ）设d=y+x-1，试求d的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分类讨论：A，B，C不共线时，根据三角形中线的性质可求得2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²，进而利用两点间的距离公式代入等式中求得x和y的关系式；A，B，C三点共线时，|AB|+|AC|=6＞|BC|推断出A在线段BC外侧，利用|6-x-x|=4求得x的值，代入2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²也符合，从而可得函数f（x）的解析式，利用根号大于等于0的性质求得x的范围即函数的定义域．
（Ⅱ）确定函数解析式，利用导数的方法，即可求d的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²，
代入得2（2²+y²）=x²+（6-x）²，
又y≥0，得y=

(x-3)2+5

；…（4分）
当A，B，C三点共线时，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4，可知A在线段BC外侧，
由|6-x-x|=4，可得x=1或x=5，因此，当x=1或x=5时，有|AB|+|AC|=6，
同时也满足：2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²．
当A． B．C不共线时，||AB|-|AC||＜|BC|=4，可知1＜x＜5，…（6分）
从而y=f(x)=

(x-3)2+5

定义域为[1，5]．…（7分）
（Ⅱ）∵y=

(x-3)2+5

，∴d=y+x-1=

(x-3)2+5

+x-1．
令t=x-3，由1≤x≤5知，t∈[-2，2]，d=

t2+5

+t+2，
两边对t求导得：dt=1+

1

t2+5

≥1+

-2

9

＞0，
∴d关于t在[-2，2]上单调递增．
∴当t=2时，d_min=3，此时x=1；当t=2时，d_max=7．此时x=5．
故d的取值范围为[3，7]．…（15分）

点评：本题考查了两点间的距离公式的应用，考查函数思想的运用，考查导数知识的运用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．