Question

已知在Rt△ABC中，A（-1，0），B（3，0），求：
（1）直角顶点C的轨迹方程；
（2）在（1）的条件下，直角边BC的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（1）设点C（x，y），由题意可知AC垂直BC，且AC、BC的斜率都存在，写出两直线的斜率后由乘积等于-1列式求得直角顶点C的轨迹方程；
（2）设M（x，y），C（x₀，y₀），由中点坐标公式把C的坐标用M的坐标表示，代入C的轨迹方程得答案．

解答： 解：（1）设点C（x，y），由题意可知，C=90°，
则AC垂直BC，且AC、BC的斜率都存在，
由两点求斜率可得直线AC的斜率k1=

y

x+1

，
直线BC的斜率k2=

y

x-3

，
则k1•k2=

y

x+1

•

y

x-3

=-1．
整理得：y²=-（x+1）（x-3），即y²=-x²+2x+3，
∴直角顶点C的轨迹方程（x-1）²+y²=4（x≠-1且x≠3）；
（2）设M（x，y），C（x₀，y₀），
∵M是BC的中点，∴

x= 3+x0 2 y= y0 2

，则

x0=2x-3 y0=2y

．
∵C（x₀，y₀）在（x-1）²+y²=4（x≠-1且x≠3）上，
∴(x0-1)2+y02=4（x₀≠1且x₀≠3），
把

x0=2x-3 y0=2y

代入得：（x-2）²+y²=1（x≠1且x≠3）．
∴直角边BC的中点M的轨迹方程为（x-2）²+y²=1（x≠1且x≠3）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法，关键是注意点的取舍，是中档题．