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已知点A（1，1）是椭圆 $数学公式$ 上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求椭圆的两焦点坐标；
（II）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称．

解：（I）由椭圆定义知：2a=4，
∴a=2
∴ $\text{[math]}$
把（1，1）代入得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
故两焦点坐标为 $\text{[math]}$ ．…（3分）
（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），
此时 $\text{[math]}$
取椭圆上一点 $\text{[math]}$
∴|AM＞|AB|．
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立． …（7分）
分析：（I）由椭圆定义知：2a=4，把（1，1）代入得 $\text{[math]}$ 求出b，根据 $\text{[math]}$ 进一步求出两焦点坐标．
（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），此时 $\text{[math]}$ ；再取椭圆上一点 $\text{[math]}$ 得到|AM＞|AB|．即得证．
点评：本题考查椭圆的定义及椭圆中三个参数的关系：c²=a²-b²；考查利用反证法证明命题，属于中档题．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知点A（1，1）是椭圆

=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

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